Распределение случайной величины

Распределение случайной величины описывает, как вероятности распределены по возможным значениям этой величины. Оно даёт полное представление о том, как случайная величина может себя вести. В зависимости от природы случайной величины (дискретной или непрерывной), распределение может быть представлено различными способами.

Дискретные случайные величины

Для дискретных случайных величин распределение задаётся вероятностной массой, которая описывает вероятность каждого возможного значения.

Функция вероятности (Probability Mass Function, PMF)

Функция вероятности \(P(X = x_i) = p_i\) для дискретной случайной величины \(X\) задаёт вероятность того, что \(X\) примет значение \(x_i\): \(P(X = x_i) = p_i\) где \(\sum_{i} p_i = 1\).

Функция распределения (Cumulative Distribution Function, CDF)

Функция распределения \(F(x)\) для дискретной случайной величины \(X\) задаёт вероятность того, что \(X\) примет значение меньше или равное \(x\): \(F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)\)

Непрерывные случайные величины

Для непрерывных случайных величин распределение задаётся плотностью вероятности, которая описывает вероятность попадания случайной величины в малый интервал.

Функция плотности вероятности (Probability Density Function, PDF)

Функция плотности вероятности \(f(x)\) для непрерывной случайной величины \(X\) задаёт плотность вероятности в точке \(x\). Вероятность того, что \(X\) примет значение в интервале \([a, b]\), равна:

\(P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)

где \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1\).

Функция распределения (Cumulative Distribution Function, CDF)

Функция распределения \(F(x)\) для непрерывной случайной величины \(X\) задаёт вероятность того, что \(X\) примет значение меньше или равное \(x\): \(F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt\)

Примеры распределений

Дискретные распределения

• Биномиальное распределение: Описывает число успехов в \(n\) независимых испытаниях, каждое с вероятностью успеха \(p\). Функция вероятности: \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}\)

• Распределение Пуассона: Описывает число событий, происходящих в фиксированный интервал времени или пространства, если события происходят с постоянной средней скоростью \(\lambda\). Функция вероятности: \(P(X = k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)

Непрерывные распределения

• Нормальное (гауссовское) распределение: Описывает распределение значений вокруг среднего с определённой дисперсией. Функция плотности:

\(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\dfrac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}\)

где \(\mu\) — среднее значение, \(\sigma^2\) — дисперсия.

• Экспоненциальное распределение: Описывает время между событиями в процессе Пуассона. Функция плотности:

\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\)

где \(\lambda\) — параметр, определяющий интенсивность событий.

Таким образом, распределение случайной величины даёт полное описание её вероятностных характеристик, позволяя вычислять различные вероятности и проводить статистический анализ.