Операции над векторами и матрицами.

Если у вас еще не установлен NumPy, его можно установить с помощью команды:

pip install numpy

Импортируем библиотеку:

import numpy as np

Операции с векторами

1. Создание векторов:

   vector_a = np.array([1, 2, 3])
   vector_b = np.array([4, 5, 6])
   

2. Сложение векторов:

   vector_sum = vector_a + vector_b
   # Результат: array([5, 7, 9])
   

3. Вычитание векторов:

   vector_diff = vector_a - vector_b
   # Результат: array([-3, -3, -3])
   

4. Скалярное произведение:

   dot_product = np.dot(vector_a, vector_b)
   # Результат: 32 (1*4 + 2*5 + 3*6)
   

5. Норма вектора:

   norm_a = np.linalg.norm(vector_a)
   # Результат: 3.7416573867739413 (sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2))
   

Операции с матрицами

1. Создание матриц:

   matrix_A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
   matrix_B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
   

2. Сложение матриц:

   matrix_sum = matrix_A + matrix_B
   # Результат: array([[ 6,  8],
   #                   [10, 12]])
   

3. Вычитание матриц:

   matrix_diff = matrix_A - matrix_B
   # Результат: array([[-4, -4],
   #                   [-4, -4]])
   

4. Умножение матриц:

   matrix_product = np.dot(matrix_A, matrix_B)
   # Результат: array([[19, 22],
   #                   [43, 50]])
   

5. Транспонирование матрицы:

   matrix_A_T = np.transpose(matrix_A)
   # Результат: array([[1, 3],
   #                   [2, 4]])
   

6. Обратная матрица:

   matrix_A_inv = np.linalg.inv(matrix_A)
   # Результат: array([[-2. ,  1. ],
   #                   [ 1.5, -0.5]])
   

Пример применения: решение системы линейных уравнений

Рассмотрим систему уравнений: \(\begin{cases} 1x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}\)

1. Определение матрицы коэффициентов и вектора результатов:

   A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
   B = np.array([5, 11])
   

2. Решение системы уравнений:

   solution = np.linalg.solve(A, B)
   # Результат: array([1., 2.])
   

Этот результат означает, что \( x = 1 \) и \( y = 2 \).