Итеративный алгоритм ближайших точек.¶

Итеративный алгоритм ближайших точек (Iterative Closest Point, ICP) широко используется для выравнивания и слияния облаков точек в робототехнике, компьютерном зрении и 3D сканировании. Давайте рассмотрим примеры из реальной жизни и пример на Python с использованием ООП.

Примеры из реальной жизни¶

3D сканирование и реконструкция: ICP используется для объединения нескольких сканов объекта или сцены, сделанных с разных ракурсов. Это позволяет создавать точные 3D модели, применяемые в археологии, медицине и промышленности.
Навигация роботов: Роботы, оснащенные LIDAR или другими сенсорами, используют ICP для выравнивания текущего сканирования с картой, что позволяет им точно определять свое местоположение и корректировать путь.
Дополненная реальность (AR): В AR ICP может использоваться для привязки виртуальных объектов к реальному миру путем выравнивания облаков точек сцены, снятой камерой устройства, с заранее созданной картой.

Алгоритм ближайших точек (Iterative Closest Point, ICP) предназначен для выравнивания двух облаков точек путём минимизации расстояния между ними. Вот пошаговое математическое объяснение ICP:

Шаг 1: Инициализация¶

Даны два облака точек: - \(P = \{p_1, p_2, \ldots, p_n\}\) - исходное облако точек. - \(Q = \{q_1, q_2, \ldots, q_m\}\) - целевое облако точек.

Начальная трансформация \(T\) обычно задаётся как единичная матрица: \(T = I\)

Шаг 2: Поиск ближайших точек¶

Для каждой точки \(p_i\) из \(P\) находим ближайшую точку \(q_j\) из \(Q\): \(q_j = \arg\min_{q \in Q} \| T(p_i) - q \|\) Здесь \(\| \cdot \|\) обозначает евклидово расстояние.

Шаг 3: Оценка трансформации¶

Используя найденные пары точек \((p_i, q_j)\), оцениваем оптимальную трансформацию \(T\), которая минимизирует среднеквадратичное расстояние между парными точками: \(T = \arg\min_T \sum_i \| T(p_i) - q_j \|^2\)

Шаг 4: Применение трансформации¶

Обновляем исходное облако точек с использованием найденной трансформации: \(P \leftarrow \{T(p_1), T(p_2), \ldots, T(p_n)\}\)

Шаг 5: Проверка сходимости¶

Проверяем, достиг ли алгоритм критерия сходимости, например, изменения средней ошибки ниже заданного порога или достигнуто максимальное количество итераций.

Шаг 6: Повторение¶

Если критерий сходимости не достигнут, возвращаемся к шагу 2 и повторяем процесс.

Математические детали¶

Поиск ближайших точек¶

Для каждой точки \(p_i\) из исходного облака находим ближайшую точку \(q_j\) из целевого облака: \(q_j = \arg\min_{q \in Q} \| T(p_i) - q \|\)

Оценка оптимальной трансформации¶

Для нахождения трансформации \(T\), которая включает вращение \(R\) и сдвиг \(t\), минимизируем следующую функцию: \(\sum_{i=1}^n \| Rp_i + t - q_j \|^2\) Это можно решать с помощью метода наименьших квадратов, используя, например, метод сингулярного разложения (SVD).

Центрирование облаков точек: Вычисляем центроиды обоих облаков: \(\bar{p} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_i\)

\(\bar{q} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n q_j\)

Центрируем точки относительно их центроидов: \(p'_i = p_i - \bar{p}\) \(q'_j = q_j - \bar{q}\)

Построение матрицы ковариации: \(H = \sum_{i=1}^n p'_i (q'_j)^T\)
Сингулярное разложение (SVD): \(H = U \Sigma V^T\)
Вычисление матрицы вращения: \(R = V U^T\)
Вычисление вектора сдвига: \(t = \bar{q} - R \bar{p}\)
Объединение вращения и сдвига в единую матрицу трансформации: \(T = \begin{pmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Пример на Python¶

Теперь, когда у нас есть теоретическое объяснение, посмотрим, как это можно реализовать на Python.

import numpy as np
import open3d as o3d

class ICPAlgorithm:
    def __init__(self, source_points, target_points):
        self.source = o3d.geometry.PointCloud()
        self.source.points = o3d.utility.Vector3dVector(source_points)

        self.target = o3d.geometry.PointCloud()
        self.target.points = o3d.utility.Vector3dVector(target_points)

        self.transformation = np.identity(4)

    def run_icp(self, threshold=0.02, max_iterations=50):
        icp_result = o3d.pipelines.registration.registration_icp(
            self.source, self.target, threshold, self.transformation,
            o3d.pipelines.registration.TransformationEstimationPointToPoint(),
            o3d.pipelines.registration.ICPConvergenceCriteria(max_iteration=max_iterations)
        )
        self.transformation = icp_result.transformation
        return icp_result

    def transform_source(self):
        self.source.transform(self.transformation)

    def visualize(self):
        self.source.paint_uniform_color([1, 0, 0])
        self.target.paint_uniform_color([0, 1, 0])
        o3d.visualization.draw_geometries([self.source, self.target])

if __name__ == "__main__":
    np.random.seed(42)
    source_points = np.random.rand(100, 3)
    target_points = source_points + np.array([0.1, 0.1, 0.1])

    icp = ICPAlgorithm(source_points, target_points)
    result = icp.run_icp()

    print("Transformation Matrix:")
    print(result.transformation)

    icp.transform_source()
    icp.visualize()

Этот пример иллюстрирует основные шаги алгоритма ICP, включая поиск ближайших точек, оценку трансформации и визуализацию результатов.

Заключение¶

Алгоритм ICP широко используется в робототехнике и компьютерном зрении для выравнивания и слияния облаков точек. Пример на Python показывает, как можно реализовать этот алгоритм с использованием библиотеки Open3D и ООП, обеспечивая гибкость и удобство использования.