Вероятностная модель измерений. Примеры.¶

Вероятностная модель измерений используется для описания и анализа процессов, в которых измерения подвержены случайным ошибкам и неопределённостям. Эти модели позволяют оценивать истинные значения измеряемых величин, учитывая вероятностную природу ошибок.

Основные концепции¶

Случайные ошибки измерений Измерения могут быть искажены случайными ошибками, которые рассматриваются как случайные величины. Эти ошибки могут иметь разные распределения (например, нормальное, равномерное).
Модель измерения Вероятностная модель измерений может быть представлена как: \(Z = X + \epsilon\) где \(Z\) — измеренное значение, \(X\) — истинное значение измеряемой величины, \(\epsilon\) — случайная ошибка измерения.
Вероятностное распределение ошибок Часто предполагается, что ошибки измерения \(\epsilon\) распределены нормально: \(\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\) где \(\sigma^2\) — дисперсия ошибки измерения.

Примеры вероятностных моделей измерений¶

Нормальная модель измерений

Предположим, что измеряемая величина \(X\) имеет нормальное распределение с параметрами \(\mu\) и \(\sigma_X^2\), а ошибка измерения \(\epsilon\) также нормально распределена с нулевым средним и дисперсией \(\sigma_\epsilon^2\): \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_X^2)\)

\(\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\epsilon^2)\)

Тогда измеренное значение \(Z\) также будет нормально распределено: \(Z = X + \epsilon \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_X^2 + \sigma_\epsilon^2)\)

Пример: Измерение температуры с помощью термометра. Предположим, что истинная температура в комнате \(X\) имеет нормальное распределение с параметрами \(\mu = 20^\circ C\) и \(\sigma_X = 1^\circ C\), а ошибка измерения термометра \(\epsilon\) распределена нормально с дисперсией \(\sigma_\epsilon = 0.5^\circ C\).

Калибровка приборов

Часто измерительные приборы нуждаются в калибровке. Вероятностная модель измерений может учитывать систематическую ошибку калибровки \(b\): \(Z = X + b + \epsilon\) где \(b\) — постоянная систематическая ошибка.

Пример: Весы, которые показывают вес с систематической ошибкой \(b = 0.2 \text{ кг}\), и случайной ошибкой \(\epsilon\) с нормальным распределением \(\mathcal{N}(0, 0.1^2 \text{ кг}^2)\).

Линейная регрессия

В задачах регрессии измерения одной переменной зависят от значений другой переменной, с учётом случайных ошибок. Модель линейной регрессии: \(Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon\) где \(Y\) — зависимая переменная, \(X\) — независимая переменная, \(\beta_0\) и \(\beta_1\) — параметры модели, \(\epsilon\) — случайная ошибка.

Пример: Моделирование зависимости артериального давления (Y) от возраста пациента (X), где измерения давления подвержены случайным ошибкам.

Модель скрытых марковских процессов (Hidden Markov Models, HMM)

В этой модели наблюдаемые данные (измерения) зависят от скрытых состояний, которые сами по себе образуют марковский процесс. Наблюдения зависят от скрытых состояний с определённой вероятностью.

Пример: Распознавание речи, где наблюдаемые акустические сигналы (измерения) зависят от скрытых фонем (состояний), которые образуют марковскую цепь.

Детальный пример: Измерение положения объекта с шумом¶

Рассмотрим задачу измерения положения объекта с помощью GPS, где измерения подвержены случайным ошибкам.

Описание задачи: - Истинное положение объекта \(X\) на плоскости распределено нормально с известной дисперсией \(\sigma_X^2\). - Измерения \(Z\) подвержены случайным ошибкам \(\epsilon\), которые распределены нормально с дисперсией \(\sigma_\epsilon^2\).

Модель: \(Z = X + \epsilon\)

\(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_X^2)\)

\(\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\epsilon^2)\)

Пример вычисления: - Пусть истинное положение \(\mu = 100\) метров, \(\sigma_X = 5\) метров, а дисперсия ошибки измерения \(\sigma_\epsilon = 2\) метра. - Тогда измерение \(Z\) будет распределено нормально с параметрами: \(Z \sim \mathcal{N}(100, 5^2 + 2^2) = \mathcal{N}(100, 29)\)

Python¶

Вот пример реализации вероятностной модели измерений на Python с использованием ООП и чистого кода:

import numpy as np
import random

class MeasurementModel:
    def __init__(self, true_mean, true_std, measurement_std):
        self.true_mean = true_mean
        self.true_std = true_std
        self.measurement_std = measurement_std

    def generate_true_measurement(self):
        # Генерация истинного значения
        return np.random.normal(self.true_mean, self.true_std)

    def generate_measurement(self, true_measurement):
        # Генерация измерения с учетом случайной ошибки
        return true_measurement + np.random.normal(0, self.measurement_std)

# Пример использования модели для измерения положения объекта с шумом
if __name__ == "__main__":
    # Параметры модели
    true_mean = 100  # Истинное среднее значение
    true_std = 5     # Стандартное отклонение истинного значения
    measurement_std = 2  # Стандартное отклонение ошибки измерения

    # Создание модели измерений
    model = MeasurementModel(true_mean, true_std, measurement_std)

    # Генерация истинного значения
    true_measurement = model.generate_true_measurement()
    print("Истинное значение:", true_measurement)

    # Генерация измерения с учетом ошибки
    measured_value = model.generate_measurement(true_measurement)
    print("Измеренное значение:", measured_value)

Этот код создает класс MeasurementModel, который представляет вероятностную модель измерений. Метод generate_true_measurement() генерирует истинное значение измеряемой величины, а метод generate_measurement() генерирует измеренное значение с учетом случайной ошибки.

При запуске программа создает модель с заданными параметрами, генерирует истинное значение и затем генерирует измерение с учетом случайной ошибки, демонстрируя работу вероятностной модели измерений.

Вывод¶

Вероятностные модели измерений позволяют учитывать случайные ошибки и неопределённости при анализе и обработке измерительных данных. Эти модели находят широкое применение в различных областях, таких как навигация, физика, биология и инженерия, обеспечивая более точные и надёжные оценки истинных значений измеряемых величин.