Байесовская фильтрация.¶

Байесовская фильтрация — это метод оценки состояния динамической системы на основе наблюдений, который использует теорему Байеса. Этот метод часто применяется в задачах слежения и оценки, таких как фильтрация Калмана и фильтрация частиц. Рассмотрим основные концепции и формулы Байесовской фильтрации.

Основные концепции¶

В Байесовской фильтрации состояние системы в момент времени \(t\) обозначается как \(x_t\), а наблюдения — как \(z_t\). Процесс можно описать двумя основными уравнениями:

Модель перехода: описывает, как состояние системы изменяется со временем. \(p(x_t | x_{t-1})\)
Модель наблюдения: описывает, как наблюдения связаны с состоянием системы. \(p(z_t | x_t)\)

Предсказание¶

На этапе предсказания вычисляется априорное распределение состояния на основе предыдущего состояния:

\(p(x_t | z_{1:t-1}) = \int p(x_t | x_{t-1}) p(x_{t-1} | z_{1:t-1}) \, dx_{t-1}\)

Обновление¶

На этапе обновления это априорное распределение комбинируется с новой наблюдаемой информацией для получения апостериорного распределения:

\(p(x_t | z_{1:t}) = \dfrac{p(z_t | x_t) p(x_t | z_{1:t-1})}{p(z_t | z_{1:t-1})}\)

где нормализующий множитель \(p(z_t | z_{1:t-1})\) определяется как:

\(p(z_t | z_{1:t-1}) = \int p(z_t | x_t) p(x_t | z_{1:t-1}) \, dx_t\)

Пример: Фильтр Калмана¶

Фильтр Калмана — это специальный случай Байесовской фильтрации для линейных систем с гауссовским шумом. В этом случае все распределения являются гауссовскими, и вычисления могут быть выполнены аналитически.

Предсказание состояния:

\(\hat{x}_t^- = A \hat{x}_{t-1} + B u_{t-1}\)

\(P_t^- = A P_{t-1} A^T + Q\)

Обновление состояния:

\(K_t = P_t^- H^T (H P_t^- H^T + R)^{-1}\)

\(\hat{x}_t = \hat{x}_t^- + K_t (z_t - H \hat{x}_t^-)\)

\(P_t = (I - K_t H) P_t^-\)

где \(A\) — матрица перехода состояния, \(B\) — матрица управления, \(u_{t-1}\) — вектор управления, \(Q\) — ковариационная матрица шума процесса, \(H\) — матрица наблюдения, \(R\) — ковариационная матрица шума наблюдений, \(\hat{x}_t\) — оценка состояния, \(P_t\) — ковариационная матрица ошибки оценки, \(K_t\) — матрица Калмана, \(z_t\) — наблюдение.

Таким образом, Байесовская фильтрация предоставляет мощный и гибкий способ для оценки состояния системы на основе последовательных наблюдений и применения теоремы Байеса.

import numpy as np

class BayesFilter:
    def __init__(self, initial_belief, motion_model, sensor_model):
        """
        Инициализация Байесовского фильтра.

        :param initial_belief: начальное распределение вероятностей (np.array)
        :param motion_model: функция модели движения
        :param sensor_model: функция модели сенсора
        """
        self.belief = initial_belief
        self.motion_model = motion_model
        self.sensor_model = sensor_model

    def predict(self, control):
        """
        Прогнозирование следующего состояния на основе управляющего воздействия.

        :param control: управляющее воздействие (например, движение робота)
        """
        self.belief = self.motion_model(self.belief, control)
        self.normalize_belief()

    def update(self, measurement):
        """
        Обновление распределения вероятностей на основе измерения.

        :param measurement: текущее измерение
        """
        self.belief = self.sensor_model(self.belief, measurement)
        self.normalize_belief()

    def normalize_belief(self):
        """
        Нормализация распределения вероятностей, чтобы их сумма была равна 1.
        """
        self.belief /= np.sum(self.belief)

    def get_belief(self):
        """
        Получение текущего распределения вероятностей.

        :return: текущее распределение вероятностей (np.array)
        """
        return self.belief

# Пример моделей для фильтра

def motion_model(belief, control):
    """
    Модель движения робота.

    :param belief: текущее распределение вероятностей (np.array)
    :param control: управляющее воздействие (например, движение робота)
    :return: обновленное распределение вероятностей (np.array)
    """
    new_belief = np.roll(belief, control)
    return new_belief

def sensor_model(belief, measurement):
    """
    Модель сенсора робота.

    :param belief: текущее распределение вероятностей (np.array)
    :param measurement: текущее измерение
    :return: обновленное распределение вероятностей (np.array)
    """
    # Пример: датчик имеет равномерное распределение вероятностей вокруг измерения
    likelihood = np.zeros_like(belief)
    likelihood[measurement] = 1.0
    return belief * likelihood

# Пример использования

if __name__ == "__main__":
    # Начальное распределение вероятностей
    initial_belief = np.array([0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2])

    # Создание объекта Байесовского фильтра
    bayes_filter = BayesFilter(initial_belief, motion_model, sensor_model)

    # Прогноз на основе управляющего воздействия (движение на 1 позицию вправо)
    bayes_filter.predict(control=1)
    print("После прогноза:", bayes_filter.get_belief())

    # Обновление на основе измерения (датчик указывает на позицию 2)
    bayes_filter.update(measurement=2)
    print("После обновления:", bayes_filter.get_belief())

Объяснение¶

Класс BayesFilter: Этот класс инкапсулирует функциональность байесовской фильтрации. Он содержит методы predict, update, и normalize_belief.
Метод predict: Этот метод использует модель движения для обновления распределения вероятностей на основе управляющего воздействия.
Метод update: Этот метод обновляет распределение вероятностей на основе нового измерения.
Метод normalize_belief: Этот метод нормализует распределение вероятностей, чтобы их сумма была равна 1.
Функции motion_model и sensor_model: Примерные модели движения и сенсора. В реальных приложениях они могут быть гораздо сложнее.
Пример использования: Инициализация фильтра, выполнение прогноза и обновления на основе данных.