Аксиомы теории вероятностей. Дискретная и непрерывная случайные величины.¶

Pasted image 20240526082534.png

Теория вероятностей является важным разделом математики, изучающим случайные события и их вероятности. Основу этой теории составляют аксиомы Колмогорова, на которых строится вся остальная структура. Также в теории вероятностей различают дискретные и непрерывные случайные величины, каждая из которых имеет свои особенности. Рассмотрим эти понятия более подробно.

Аксиомы теории вероятностей¶

Аксиоматический подход к теории вероятностей был разработан советским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1933 году. Основные аксиомы теории вероятностей следующие:

Аксиома неотрицательности: Для любого события \( A \) вероятность \( P(A) \) неотрицательна. \(P(A) \geq 0\)
Аксиома нормировки: Вероятность достоверного события (то есть события, которое происходит всегда) равна 1. \(P(\Omega) = 1\) Здесь \( \Omega \) — множество всех возможных исходов (пространство элементарных исходов).
Аксиома аддитивности: Если события \( A \) и \( B \) несовместны (то есть они не могут произойти одновременно), то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B), \quad \text{если} \quad A \cap B = \emptyset\) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), \quad \text{если} \quad A \cap B \ne \emptyset\)

На основе этих аксиом можно вывести множество других свойств и формул теории вероятностей.

Дискретные случайные величины¶

Дискретная случайная величина принимает отдельные, чётко определённые значения. Примером может служить количество выпавших очков при броске кубика. Основные характеристики дискретных случайных величин:

Функция распределения вероятностей (Probability Mass Function, PMF): Определяет вероятность каждого возможного значения случайной величины. \(P(X = x_i) = p_i\) где \(x_i\) — возможные значения случайной величины \(X\), а \(p_i\) — соответствующие вероятности.
Математическое ожидание (Среднее значение): \(\mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\)
Дисперсия: Мера разброса значений случайной величины вокруг её среднего. \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \sum_{i} (x_i - \mathbb{E}[X])^2 \cdot P(X = x_i)\)

Непрерывные случайные величины¶

Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого интервала или множества. Примером может служить измерение роста человека. Основные характеристики непрерывных случайных величин:

Функция плотности вероятности (Probability Density Function, PDF): Определяет вероятность того, что случайная величина попадёт в малый интервал вокруг данного значения. \(P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\) где \(f(x)\) — функция плотности вероятности.
Функция распределения (Cumulative Distribution Function, CDF): Определяет вероятность того, что случайная величина примет значение меньше или равное данному. \(F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt\)
Математическое ожидание: \(\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx\)
Дисперсия: \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mathbb{Е}[X])^2 f(x) \, dx\)

Таким образом, аксиомы Колмогорова задают фундаментальные свойства вероятностных мер, а дискретные и непрерывные случайные величины представляют собой две основные категории случайных величин с различными подходами к описанию их вероятностного поведения.

Python¶

import numpy as np
import scipy.stats as stats

class DiscreteRandomVariable:
    def __init__(self, outcomes, probabilities):
        self.outcomes = outcomes
        self.probabilities = probabilities

    def mean(self):
        return np.sum(self.outcomes * self.probabilities)

    def variance(self):
        mean = self.mean()
        return np.sum((self.outcomes - mean) ** 2 * self.probabilities)

    @classmethod
    def from_pmf(cls, pmf):
        outcomes, probabilities = zip(*pmf.items())
        return cls(np.array(outcomes), np.array(probabilities))

# Пример использования для броска кубика
outcomes = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
probabilities = np.ones(6) / 6  # каждый исход равновероятен
dice = DiscreteRandomVariable(outcomes, probabilities)
print("Среднее значение (Математическое ожидание) для броска кубика:", dice.mean())
print("Дисперсия для броска кубика:", dice.variance())

class ContinuousRandomVariable:
    def __init__(self, distribution):
        self.distribution = distribution

    def mean(self):
        return self.distribution.mean()

    def variance(self):
        return self.distribution.var()

    @classmethod
    def from_pdf(cls, pdf, lower_bound, upper_bound):
        distribution = stats.rv_continuous()
        distribution.pdf = pdf
        distribution.a = lower_bound
        distribution.b = upper_bound
        return cls(distribution)

# Пример использования для нормального распределения
normal_pdf = lambda x: stats.norm.pdf(x, loc=0, scale=1)
normal_distribution = ContinuousRandomVariable.from_pdf(normal_pdf, -np.inf, np.inf)
print("Среднее значение (Математическое ожидание) для нормального распределения:", normal_distribution.mean())
print("Дисперсия для нормального распределения:", normal_distribution.variance())

Этот код создает два класса, DiscreteRandomVariable для дискретных случайных величин и ContinuousRandomVariable для непрерывных случайных величин. Каждый класс имеет методы для вычисления среднего значения и дисперсии. Метод from_pmf и from_pdf используется для создания объектов классов из функций распределения вероятностей.